Aprende con Sexto Semestre

Aquí encontraras diversos temas para un nivel de sexto semestre de un bachillerato general.

Te deseamos suerte y Bienvenido a matemundo.

Límites cuando x tiende a ∞

Introducción.

El límite es un concepto que describe la tendencia de una función, a medida que los parámetros de ésta se acercan a un determinado valor, es decir, el valor al que tiende la variable dependiente a medida que la variable independiente se acerca un determinado valor.

Cuando la función f definida en el intervalo (a, ∞). Si se tiene que:

lim f (x)= L

entonces significa que los valores de f(x) se aproximan a L tanto como se quiera para una x lo suficientemente grande, sabemos que ∞ no es un número, sin embargo, se acostumbra decir “el limite de f(x), cuando x tiende al infinito, es L”.

Cuando en una función x tiende a infinito, se busca la base o incógnita con mayor exponente y ésta divide a cada uno de los términos de la función, después, para obtener el valor del límite, se aplica la siguiente formula:

c: constante

n: exponente

x: base

Es decir, en la formula nos dice que si al dividir todos los términos entre la base con mayor exponente, si queda en la forma de fracción quedando una constante en el numerador y en el denominador la base elevada a cualquier exponente, automáticamente da como resultado 0.

Pasos:

1. Identificar de la función la incógnita con el exponente más grande.

2. Divide todos los términos entre esa incógnita con el exponente más alto.

3. Resuelve las divisiones y simplifica lo más posible cada término.

4. Observando la regla o formula del inicio (remarcada en la imagen), convierte los términos que se puedan a 0. Y por último simplifica.

Conclusión:

Los limites son parte fundamental de la matemática y nos ayudara a determinar de forma exacta los puntos en una gráfica.

También son fundamentales para la realización de derivadas e integración ya que está directamente relacionado con el espacio a utilizar en un ejercicio grafico tanto para la ingeniería como para la arquitectura, de manera que aprender sus propiedades trigonométricas son de gran ayuda a la hora de realizar dichos ejercicios.

Uso de los limites en la vida cotidiana:

Un ejemplo de cómo utilizar los limites en la administración es como se elaboran gráficas para saber el nivel de producción y para encontrar el menor costo posible esto para generar una mayor ganancia para la misma empresa,

Ejemplificando el concepto es cuando se presenta un alza en los costos de la materia prima esto eventualmente generara un cambio en cuanto el costo que esta genero anteriormente.

Un ejemplo es un tiro de media distancia de un futbolista, el movimiento realizado por el balón en su trayectoria natural es semejante a una parábola, cruza la barrera e intenta llegar a un punto del arco donde el portero no tiene alcance, el portero tiene que anticipar el tiro y el punto donde debe de atajarlo para parar el gol del tirador. Si el portero fuese un físico, sabría que posible trayectoria llevaría la pelota resolviendo una simple ecuación, y en base a los límites determinar el punto en que la pelota es atajable.

Derivadas con funciones logarítmicas (logaritmos naturales o neperianos).

Para empezar, debemos saber que para este y los demás tipos de derivas se usa la siguiente fórmula: y=un *y´=nun-1*u, sin embargo, en las derivadas con logaritmos utilizaremos esta fórmula, pero dentro de otra la cual es: u´u, la letra u’ (u prima), representa la derivada de algún numero y este se saca aplicando la primera formula mostrada y la “u” sin apostrofe representa la función sin ningún cambio, para entender mejor esto se mostrará un ejemplo.

f(x)=In(3x)

Primero debemos concentrarnos en lo que esta después del logaritmo que en este caso es el 3x y hay que derivarla utilizando esta fórmula:

y=un *y´=nun-1*u

Y el resultado es 3, después de hacer esto solo tenemos que poner la función sin alterar debajo del tres que obtuvimos, de modo que nos queda:

33x

Y listo así hemos aplicado la fórmula de logaritmos, arriba queda la derivada de la función y abajo queda la función sin alterar.

A continuación, se mostrarán algunos ejemplos:

Y= In 2x-32x+3

aquí debemos derivar todo, recuerden que cuando hay constantes (números) sin ninguna letra a su lado se convierten en cero, por lo tanto, la derivada de la función solo se convierte en 22 y 2 entre dos es igual a 1, y si aplicamos las leyes logarítmicas quedaría como 12x-32x+3 pero aquí se pueden dividir con la ley del sándwich quedaría: 112x-32x+3 por lo tanto queda: 2x+32x-3 y listo.

f(x)= In (3x2-5x+2)

Ahora haremos lo mismo que con lo ejercicios anteriores, primero derivaremos lo que esta después del logaritmo (3x2-5x+2), el resultado es 6x-5 y después ponemos este resultado arriba de la función original y nos queda 6X-53x2-5x+2 y listoo.

F(x)=In x

Para resolver esto primero debemos de recordar que x también se puede representar como x12 y esto ya nos permite derivarla lo cual nos queda como 12x-12 y acomodado conforme a la fórmula queda como 12x-12x pero no se pueden tener exponentes negativos así que aplicamos una regla que dice que si tenemos

exponentes negativos los podemos convertir a negativos pasándolos de arriba abajo o de abajo hacia arriba por lo tanto en nuestra función esto queda como 12x (x12) pero hay que recordar que x elevada la un medio es igual a la raíz de x entonces la función queda como 12(x)(x) por lo tanto el resultado es 12x .

f(x)= In 4x2

Para finalizar con los ejemplos vamos por una facilita, primero derivamos el In 4x2 lo que nos queda como 8x y esto lo ponemos arriba de la función original y nos queda como 8x4x2 y listo, hemos finalizado.

Ahora te toca a ti responder, a continuación, se presentarán ejercicios y tu tendrás que elegir la respuesta correcta:

Dudas o problemas respecto a este tema:

Las dudas mas frecuentes que tuve de manera personal al resolver este tipo de ejercicios fueron cuando los combinaban entre sí, pero más específicamente cuando los combinaban con los senos y cosenos, esto lo resolví investigando un poco ya que existen formulas para este tipo de operaciones y solo basta con seguirlas, igualmente uno de mis compañeros explicará que se hace cuando tenemos senos, cosenos, tangentes etc.

Otra de las dudas que me surgían era al derivar funciones fraccionarias y esto solo lo resolví literalmente derivando tooodoo, empezando con la parte de arriba y luego con la de abajo, después en los pasos finales tendrás una división de fracciones en la que se tienen que multiplicar cruzado o bien aplicando la ley del sándwich (medios por medios y extremos por extremos).

Funciones en la vida cotidiana:

Realmente este y otros tipos de derivada no te van a servir en la vida cotidiana a menos que estudies algo relacionado con ciencias, física, matemáticas o química, ya que sirve para conocer el comportamiento de una variable con respecto a otra como en las velocidades, aceleraciones, distribuciones que dependen del tiempo y cantidad de materia, crecimiento de bacterias etc.

Conclusión:

Y esto ha sido todo, realmente espero que esto les haya servido de mucha ayuda, éste en realidad no es un tema difícil ya que, lo único que tienes que saber son las cosas básicas de las derivadas para poder resolverlas y normalmente son sencillas así que no te costaran mucho trabajo en los exámenes.

Atte. Mariano Saucedo Bonilla (6°semestre).

Derivadas con la formula (uv)' = u v' + u' v.

Introducción: En el caso de la cal diferencial y el análisis matemático, la derivación de una función es el cambio básico con el que varía el valor de esta función matemática, ya que se cambia el valor de sus variables independientes.

(Uv) '= u v' + u 'v La derivación del producto de dos funciones es la primera función derivando la segunda más la segunda función derivando la primera. Cuando observamos el ejemplo anterior, realmente no necesitamos la regla del producto para calcular la función derivada de la función especificada.

Formula: (uv)' = u v' + u' v

Dudas o problemas que surgieron al realizar los ejercicios y como lo solucionaron:

• ¿Cuál se cual es u y cual es v?

o Siempre coloca primera U y luego V

• ¿Cómo acomodo las partes para no confundirme?

o Anota la original y abajo la derivada resuelta

¿Cómo se puede aplicar su tema en la vida cotidiana?:

La derivada le permite saber cuán sensible es la variable cambiar en relación con otra. Esto es muy útil en ciencia (velocidad, aceleración, distribución, que dependen del tiempo o la cantidad de materia, son ejemplos simples), en ingeniería y economía.

DERIVADAS.

Las derivadas son una herramienta fundamental en el cálculo diferencial e integral. En términos simples, la derivada de una función representa la tasa de cambio de esa función en un punto determinado. En otras palabras, calcula la pendiente de la función en ese punto. Las derivadas tienen una amplia variedad de aplicaciones en campos como la física, la economía y la ingeniería.

La fórmula general para la derivada de una función es:

f'(x) = lim (h → 0) (f(x + h) - f(x)) / h

Ejemplos.

1. Sea f(x) = x^2 + 3x + 1. Encuentre la derivada de f(x).

Solución: f'(x) = 2x + 3

2.Sea g(x) = cos x. Encuentre la derivada de g(x).

Solución: g'(x) = -sin x

3.Sea h(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1. Encuentre la segunda derivada de h(x).

Solución: h''(x) = 12x + 6

4.Sea j(x) = sqrt(x). Encuentre la derivada de j(x).

Solución: j'(x) = 1 / (2sqrt(x))

5.Sea k(x) = e^x. Encuentre la derivada de k(x).

Solución: k'(x) = e^x

Dudas o problemas.

Durante los ejercicios, a veces la dificultad radicaba en encontrar la forma correcta de aplicar la fórmula de la derivada. Por ejemplo, en algunos de los ejemplos, la función resultante era compleja, lo que hacía difícil su derivación. Para superar estos problemas, recurrí a la revisión de mi material de estudio y a la práctica constante para mejorar mi comprensión.

Aplicación en la vida cotidiana.

Las aplicaciones de las derivadas en la vida cotidiana son numerosas y van desde la determinación de la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento, hasta la optimización de funciones económicas y la medición de la tasa de cambio en varios fenómenos físicos y sociales.

Conclusión.

las derivadas son una herramienta matemática fundamental para comprender el cambio y las tasas de cambio en una amplia gama de fenómenos en diferentes campos como la física, las finanzas, los negocios y la ingeniería, entre otros. Además, las aplicaciones de las derivadas en la vida cotidiana son numerosas y nos permiten hacer predicciones y tomar decisiones informadas al interpretar los cambios en diferentes situaciones. La comprensión y la aplicación efectiva de las derivadas pueden mejorar nuestra comprensión de cómo funciona el mundo que nos rodea y cómo podemos adaptarnos y tomar decisiones en consecuencia. En general, las derivadas son una herramienta esencial que vale la pena aprender y aplicar en nuestra vida cotidiana.

Límites de exponenciales

Introducción

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por la derivada del exponente.

Explicación

Para el caso especial

Tenemos que

Siguiendo la fórmula anterior

Se concluye que